Дон Пейдж

Предсказания и тесты теорий Мультиверса

Predictions and Tests of Multiverse Theories

Don N. Page

Institute for Theoretical Physics Department of Physics, University of Alberta Room 238 CEB, 11322 – 89 Avenue Edmonton, Alberta, Canada T6G 2G7 (2004 June 25; edited 2004-2006 by Bernard Carr)

Резюме

Доказательство тонкой подстройки физических параметров для существования жизни может быть, возможно, объяснено некой комбинацией провидения, совпадения или Мультиверса. Мультиверс обычно включает части, для нас ненаблюдаемые, но если теория включает в себя соответствующие меры для наблюдений, то наблюдаемое может быть объяснено в терминах теории, даже если она содержит такие ненаблюдаемые элементы. Хорошие теории Мультиверса могут быть проверены в отношении наблюдений. Для таких тестов и Байесианских сравнений различных теорий, которые предсказывают более чем одно наблюдение, целесообразно определить понятие «типичности», как задаваемую теорией вероятность того, что произвольный результат наблюдений может быть, по крайней мере, таким же экстремальным, как результат реальных наблюдений. Некоторые теории Мультиверса можно рассматривать как относящиеся к одной Вселенной (напр., одиночное квантовое состояние, подчиняющееся определенным уравнениям) и поднимающие вопрос о том, почему применяются эти уравнения. Другие теории Мультиверса могут быть рассмотрены как не сводящиеся в принципе к единственной Вселенной. Тогда более не поднимается вопрос об уравнениях для единственной Вселенной, но скорее возникает вопрос, почему мера для набора разных вселенных такова, чтобы сделать наши наблюдения не слишком нетипичными.

  1. Объяснения тонкой подстройки с помощью Мультиверса.

Многие физические параметры наблюдаемой части Вселенной, так же, как природные постоянные и космологические граничные условия, выглядят как тонко подстроенные для нас [1,2,3,4]. Этому есть три общих объяснения. Первое: существует некий Подстраиватель, который специально подбирал физические параметры так, чтобы мы могли быть здесь. Второе заключается в том, что эти совпадения случайны. И третье – то, что наша Вселенная есть только малая часть гораздо большей вселенной или Мультиверса, или Мегаверса или Холокосма (это мой собственный неологизм для обозначения всего), и что физические параметры не одинаковы в каждом случае, но в нашей части приняли значения, соответствующие нам. Эти три объяснения не обязательно являются взаимоисключающими. Например, комбинация Подстраивателя со случайностью, но без Мультиверса; возможно, Вселенная была провиденциально создана Богом, отдавшим предпочтение особенностям элегантной единственной Вселенной, в которой случайное совпадение физических параметров позволило нам существовать. Или: Подстраиватель с Мультиверсом, но без случайностей; возможно, Бог намеренно создал Мультиверс с целью создания нас где-нибудь внутри него. Или, может, верны все три объяснения: скажем, Бог провиденциально создал Мультиверс по каким-то причинам, не связанным с созданием нас внутри него, и это была чистая случайность, что возникли мы. С другой стороны, выглядит возможным (в том смысле, что я не вижу логического противоречия), что Вселенная определяется какой-то слепой необходимостью, требующей как нашего существования, так и единого мира с единым набором физических параметров. В этом случае Вселенная не провиденциальна (в том смысле, что не была предусмотрена каким бы то ни было Богом), но и наше существование не случайно. Тогда, логически, я не могу видеть, какая комбинация из трех объяснений корректна или не корректна. Выглядит несколько неправдоподобным, что ни одно из этих объяснений не корректно хотя бы частично, и выглядит еще более неправдоподобным, что большое количество тонко подстроенных физических постоянных, которое мы наблюдаем, является всего лишь случайным. В связи с этим я должен выложить мои метафизические карты на стол и сказать – как евангелический христианин, - что я верю, что Вселенная была провиденциально создана Богом, и что, как квантовый космолог, симпатизирующий версии квантовой теории об Эвереттовском многомирии, я также сильно поддерживаю идею о том, что Вселенная является мультиверсом с различными частями, имеющими различные значения физических параметров. Для меня представляется вероятным, что (в квантовой теории без случайного коллапса волновой функции) Бог может создать элегантную физическую теорию (возможно, струнную/М с нерегулируемыми безразмерными параметрами), которая могла бы вести к мультиверсу, созданному вовсе не с целью зарождения там жизни вообще и нас конкретно. Хотя лично я менее согласен со струнной/М-теорией, нежели с идеей провиденциальности или мультиверса, тем не менее, струнная/М-теория сейчас весьма аттрактивна. Она выглядит наиболее принятым кандидатом в качестве динамической теории Вселенной (для ее эволюции, если не для ее состояния) и хорошо применима в случае мультиверса. Поскольку струнная/М-теория не имеет регулируемых безразмерных постоянных, то, если она предсказывает единый набор параметров, было бы удивительно, что такие параметры подошли бы для нашего существования. Поэтому, если струнная/М-теория – или другая альтернативная теория без регулируемых безразмерных постоянных – корректна, то выглядело бы гораздо более вероятно, если бы такая теория привела к явлению мультиверса с различными вселенными, обладающими различными физическими параметрами. Действительно, физики, занимающиеся струнной теорией [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11], утверждают, что она приводит к огромной мультивселенной или пейзажу с различными значениями физических параметров и «природных постоянных». Пока неизвестно, включает ли диапазон значений те величины физических параметров, которые соответствуют жизни в нашей части Вселенной, но это кажется, по крайней мере, правдоподобным при огромном диапазоне, обсуждаемом в струнном ландшафте. Одно из возражений, выдвигаемых против мультиверса, это то, что он ненаблюдаем. Конечно, это зависит от того, как определяется мультиверс. Одно определение говорит о наличии разных частей, где физические постоянные различны, но это просто сдвигает произвол в выборе множества физических параметров. Очевидно, что если какая-то величина, меняющаяся с положением (напр., плотность энергии), включена в набор физических параметров, тогда даже то, что мы видим, может считаться мультиверсом. Но если мы просто включаем в рассмотрение (без разделения на части) так называемые «природные постоянные», такие, как постоянная тонкой структуры и различные другие постоянные и отношения масс различных элементарных частиц, тогда то, что мы можем непосредственно наблюдать, представляется относящимся к одной Вселенной. Действительно, было бы вполне естественно – ad hoc – определить мультиверс по отношению к физическим параметрам, которые не меняются в той части, которую мы можем непосредственно наблюдать. В этом случае мультиверс становится ненаблюдаемым, и остается открытым вопрос, какие части Вселенной, которые мы не можем видеть, имеют иные наборы физических постоянных. Многие утверждали бы, что это чисто метафизическое понятие, которому нет места в науке. Тем не менее, в науке мы не должны ограничивать себя только тем, что наблюдается – мы только хотим получить простейшую теорию, использующую наблюдаемые и ненаблюдаемые объекты, чтобы объяснить и предсказать то, что наблюдается. Нельзя научно протестировать теорию, делающую предсказания о ненаблюдаемом, но можно протестировать теорию, использующую ненаблюдаемые объекты для объяснения и предсказания наблюдаемых. В таком случае, если мы находим теорию мультиверса, которая проще, а также объясняет и предсказывает то, что мы наблюдаем, лучше, чем теория единственной Вселенной, то предпочтение должно быть отдано теории мультиверса. Успех такой теории мультиверса самой по себе делает правдоподобным и существование ненаблюдаемого мультиверса. Другое возражение, которое часто приводится против теорий мультиверса, заключается в том, что наивно – объяснить нечто и предсказать «ничего», что не может быть протестировано и обсуждено научно. Идея состоит в том, что, если мультиверс дает все возможные физические параметры или условия, то параметры и условия, которые мы наблюдаем, где-то все равно должны существовать. Поэтому то, что мы наблюдаем, «объясняется», по крайней мере, где-нибудь. С другой стороны, если осуществляется любая возможность, то мы не можем предсказать никакое нетривиальное ограничение на то, что мы можем наблюдать. Если теория не имеет нетривиальных предсказаний, то она не может быть проверена наблюдениями, и ее нельзя считать научной.

  1. Тестируемые объяснения Мультиверса.

Достаточно сложные теории мультиверса могут обеспечить как прогнозы, так и объяснения, и, следовательно, могут быть проверены научно в отношении наблюдений. В противоположность теориям единственной Вселенной, в каждой из которых можно предсказать существование единственного набора физических параметров, в теориях мультиверса обычно можно лишь статистически предсказать область параметров, но это лучше, чем не делать вообще никаких предсказаний. Однако для того, чтобы делать такие статистические предсказания, теория мультиверса нуждается во включении такого понятия, как мера для различных наблюдений, которые могут быть проведены. Если иметь в виду все возможные наблюдения без применения к ним какой-то меры, то предсказания сделать невозможно. Поскольку у нас есть сильное доказательство того, что мы живем в квантовой Вселенной, будет естественно создать и квантовую теорию мультиверса. Если такая теория просто включает некоторые квантовые состояния, унитарную эволюцию, интегральные пути, операторы, некую операционную алгебру и тому подобное, то мы имеем чистую квантовую теорию, красноречиво описанную Сиднеем Колеманом [12], которая сама по себе не дает никаких измерений или вероятностей. Копенгагенская интерпретация квантовой физики это дает, но ценой коллапса волновой функции в неопределимое теорией время, причем ведет к случайным состояниям. Ниже я дам обзор эвереттовского многомирия, которое не требует коллапса волновой функции. Однако для проверяемости квантовой теории я предположу, что есть некоторые аспекты копенгагенской интерпретации, которые нужно добавить к чистой квантовой теории. Эти аспекты: меры наблюдений, которые являются предсказываемыми величинами некоторых соответствующих «операторов сознания». В копенгагенской интерпретации эти операторы являются проекционными, а мерой их являются вероятности коллапса волновой функции. Здесь я не буду требовать, чтобы операторы были проекционными, хотя – чтобы дать положительные величины мер – предположу, что эти операторы по крайней мере положительны. Я также буду предполагать, что не существует ничего по-настоящему случайного, такого, как коллапс волновой функции, но просто есть меры для всех различных наблюдений, которые могут иметь место. При тестировании теории с помощью своего наблюдения, можно считать, что наблюдение было выбрано случайно (с теоретически заданной мерой) из множества всех возможных наблюдений, но онтологически можно считать, что все возможные наблюдения с ненулевой мерой действительно происходят, так что никогда не происходит физически случайного выбора между ними. Чтобы квантовая теория была фундаментальной, нужно указать, какие наблюдения имеют меры, и что существуют операторы, чьи значения математических ожиданий дают эти меры. По моему мнению, самый главный момент истинного наблюдения состоит в его сознательном восприятии или осознании. Таким образом я обосновал границы Осознаваемой Квантовой Механики (ОКМ) [13] или «Внемозгового сенсуализма» (Mindless Sensationalism) [14] для того, чтобы дать меры для наборов осознанных восприятий как предсказываемых значений соответствующих положительных операторов, которые я назвал «операторами сознания». Это только основа (аналогично чистой квантовой теории без детализированной формы унитарной эволюции или оперативной алгебры), скорее, чем детальная теория, поскольку у меня нет детального предложения для наборов возможных осознанных восприятий или для соответствующих положительных операторов. По-видимому, для человеческого осознанного восприятия эти операторы связаны с состояниями человеческого мозга, поэтому для их понимания нужно включить в рассмотрение физику мозга. Однако я не вижу, как это можно сделать только из внешнего исследования мозга, поскольку мы не можем таким образом узнать, что есть осознанный опыт мозга. Чтобы обойти сложности физики мозга, мы можем использовать наблюдательные корреляции между экстремальными стимулами и осознаваемым опытом для воссоздания неизвестных операторов сознания, действующих на состояние мозга с помощью вспомогательных операторов, действующих на коррелированные экстремальные стимулы. Конечно, это не будет хорошо работать для иллюзий или галлюцинаций, как осознаваемых восприятий, для которых фундаментальные операторы сознания предположительно все еще работают, если они неизвестны. Однако можно предпочесть сосредоточить внимание на осознаваемом восприятии, коррелирующем с внешними раздражителями и, следовательно, лучше соответствующем тому, что мы обычно называем наблюдениями. Если оператор сознания для осознаваемого восприятия коррелирует с единичным набором внешних стимулов в единичное время, его можно приближенно заменить единичным проекционным оператором на некую внешнюю систему. С другой стороны, если он коррелирует с последовательностью измерительных процессов, его можно приближенно заменить продуктом проекционных операторов или суммой таких продуктов, классом оператора историй декогерентного подхода к квантовой теории [15, 16, 17]. Поэтому, хотя я не стал бы рассматривать проекционные операторы копенгагенской интерпретации или класс операторов декогерентных историй квантовой теории, как истинно фундаментальные, в то же время, как я верю в существование операторов сознания, может быть верно, что в некоторых случаях это разумные приближения к фундаментальным операторам сознания. Тогда можно принять их средние значения в квантовом состоянии Вселенной, как представление мер для соответствующего осознанного восприятия. Примером такой замены мог бы быть расчет меры осознанного восприятия надежного значения постоянной Хаббла. В принципе, в ОКМ это могло бы быть среднее значение надежного оператора сознания, предположительно действующего на соответствующие состояния мозга, в которых наблюдатель осознает это значение постоянной Хаббла. Но среднее значение этого оператора может быть также хорошо аппроксимировано некоторым подходящим оператором, действующим на логарифм скорости расширения наблюдаемой части Вселенной. Поскольку последний оператор не должен влиять на физику мозга, его может быть проще изучить научно, и потому он может быть использован как хорошая замена реального оператора сознания. Однако, предположительно использовать последний оператор – это не очень хорошее приближение, если его среднее значение существенно зависит от части Вселенной, где нет сознательных наблюдателей: если кто-то хочет использовать этот оператор для имитации ожидаемого значения восприятия сознательных наблюдений, то он должен включить эффект селекции, который ограничивает части Вселенной, где сознательный наблюдатель присутствует. Включение эффекта селекции в операторы, внешние по отношению к мозгу (или каким-то прямым способом имеющие осознанное восприятие), так, что их средние значения могут быть хорошей аппроксимацией для фундаментальных операторов сознания, - трудное дело, поскольку мы не знаем физических требований для сознательных наблюдателей. Например, у нас нет сейчас понимания физики, которая может сказать нам, обладают ли сознанием некоторые мощные компьютеры, пока мы не сделали предположения о том, что необходимо для появления сознания. Также я ничего не знаю о нашем современном понимании физики, которая могла бы предсказать, что я сейчас осознаю мои зрительные ощущения, но не мое сердце, так как, по-видимому, информация и о том, и о другом обрабатывается моим мозгом и может быть включена в чисто физический анализ. Тем не менее, чтобы получить очень грубые предположения об эффекте селекции для сознательного наблюдателя, можно выдвинуть непроверяемые гипотезы о том, что типичные наблюдатели подобны нам в требовании подходящих сложных химических реакций и, возможно, жидких соединений, таких, как вода. Тогда можно использовать присутствие жидкой воды как очень грубый эффект селекции для наблюдателей и присоединить его к другим проекционным операторам или операторам класса, используемым для аппроксимации некоторого осознанного восприятия, зависящего от внешних раздражителей, которые описываются проекционными операторами или операторами класса. Можно использовать проекционные или классовые операторы, чтобы задать два вопроса: присутствует ли жидкая вода в части Вселенной? Расширяется ли эта часть Вселенной с логарифмической скоростью? Если ответы на эти вопросы положительны с какой-то мерой, то можно предсказать, что будет иметь место грубое соответствие среднего значения оператора сознания осознанному восприятию этого значения постоянной Хаббла. Это очень грубое приближение к тому, что я постулировал, могло бы объективно существовать как среднее значение соответствующего истинного оператора сознания, но так как эти операторы сознания в значительной степени пока неизвестны, грубое приближение может быть полезно лишь в течение нашего нынешнего невежества. Одна проблема с расчетом меры наборов осознанных восприятий, как средних значений соответствующих операторов сознания, заключается в том, что можно получить бесконечные значения. Но само по себе это не является проблемой, поскольку только отношения мер можно тестировать как кондиционные вероятности. Однако, когда меры сами по себе бесконечны, то обычно двусмысленно, как можно получить их отношения. Проблема возникает, если операторы сознания являются суммами положительных операторов, каждый из которых локализован внутри ограниченных пространственно-временных областей (как можно было бы ожидать, если операторы соответствуют конечным сознательным существам). Предположим, что один такой оператор в сумме поддерживается внутри одной из N пространственно-временных областей равного объема внутри полного пространства-времени. Тогда по поступательной или диффеоморфизмовой (diffeomorphism) инвариантности, можно было бы ожидать, что сумма операторов для конкретного оператора сознания будет включать сумму всех соответствующих операторов в каждой из N областей. (Она может быть также суммой операторов, перекрывающих различные области, но мы не нуждаемся в этом обсуждении для данного аргумента.) По существу это только предположение, что если подходящее состояние мозга для какого-то осознанного восприятия может иметь место в одной из N пространственно-временных областей, тогда оно может иметь также место (в зависимости от квантового состояния) для других N – 1 областей. Также то, что происходит в некоторой системе координат, не должно влиять на осознанное восприятие, продуцируемое соответствующим состоянием мозга. Если внутри N пространственно-временных областей существуют условия для наблюдателей с соответствующими осознанными восприятиями, так что среднее значение оператора для каждой области имеет положительное значение, ограниченное снизу положительным числом ε, тогда полный оператор сознания (сумма индивидуальных положительных операторов внутри каждой из N областей) будет иметь среднее значение по крайней мере не меньшее, чем Nε. Это значение бесконечно, если число N таких пространственно-временных областей бесконечно. По сути, аргумент состоит в том, что если мера осознанного восприятия имеет строго положительное математическое ожидание для каждого пространственно-временного объема в некоторой области, тогда для бесконечного объема пространства-времени, где это верно, мера будет бесконечной. Этот вывод можно рассматривать как вытекающий из бесконечного числа сознательных наблюдателей, возникающих в бесконечном объеме пространства-времени, в котором присутствуют условия, подходящие для их жизни. Поскольку инфляция продуцирует Вселенную, которая произвольно велика (с бесконечно большим средним значением пространственного объема в любое фиксированное время после инфляции и, следовательно, бесконечно большим числом сознательных наблюдателей), то она имеет тенденцию продуцировать и бесконечную меру по крайней мере для не-нулевых наборов осознанных наблюдений. Темой дискуссий в литературе [18, 19, 20, 21] было, как получить хорошо определимые отношения этих бесконечных мер (или связанных с ними величин, поскольку дискуссия обычно ведется не в терминах мер осознанного восприятия), но я думаю, что справедливо сказать, что пока нет общепризнанного решения. Это серьезная проблема, которая нуждается в решении перед тем, как мы сможем надеяться сделать строгие тестируемые предсказания для инфляционного мультиверса. Существует смутная надежда, что конечна какая-то размерность части гильбертова пространства (или пространства квантового состояния, если оно больше гильбертова пространства), где поддерживаются сознательные наблюдатели, так что – для всех конечных квантовых состояний – средние значения всех положительных операторов (включая операторы сознания) конечны, тем самым давая конечную меру для всех сознательных восприятий. Но от меня ускользает, что могло бы ограничить сознательных наблюдателей в конечно-мерной части предположительно бесконечно-мерного пространства квантового состояния.

  1. Тестирование теории мульти-наблюдений с типичностью.

Если мы можем найти теорию, которая дает конечные меры для наборов наблюдений (возможно, осознанных восприятий) или может быть аппроксимирована как средние значения других положительных операторов, то как мы можем такую теорию проверить? Если теория предсказывает единственное наблюдение (по крайней мере, единственное в некотором предположении, напр., наблюдение показаний часов, имеющее некоторое значение), то можно легко проверить, соответствует ли наблюдение предсказанию. Это типично для классической модели Вселенной с единственным наблюдателем, который читает показания часов, дающие монотонно возрастающие значения (так, что существует только одно наблюдение для каждого показания). Хотя классический солипсист может поверить, что это правда в его Вселенной, большинству из нас понятно, что существует много наблюдателей и, соответственно, много различных наблюдений даже для одного-единственного значения некоторого классического времени. Квантовая теория предполагает, что существует множество возможных наблюдений даже для единственного наблюдателя в единственный момент времени. Существует спор о том, являются ли наблюдения, заданные квантовой теорией, реальными или просто нереализованными возможностями. Копенгагенская интерпретация полагает, что – для каждого значения времени каждого наблюдателя – реализуется только одно наблюдение (в результате коллапса волновой функции), так что все остальные возможности не реализуются. Этот взгляд, похоже, происходит из наивной точки зрения на Вселенную («существует только то, что мы видим»), так что мне проще предположить, что все наблюдательные возможности, предсказанные квантовой теорией, реализуются без коллапса волновой функции, дающего единственное реальное наблюдение для каждого наблюдателя в каждый момент времени. Мы обычно используем идею многих различных времен (которые эффективны только для различных ветвей квантового состояния, по крайней мере в приближении квантовой гравитации Уилера-Де-Витта) и – исключая солипсистов – идею многих различных наблюдателей, так почему бы нам не принять простое предсказание о множестве наблюдений для одного и того же наблюдателя в одно и то же время? Во всяком случае, будь то в классической Вселенной или в квантовой Вселенной без коллапса волновой функции, каждый раз, когда происходит наблюдение, есть много наблюдений даже в одно и то же время, и потому нужно иметь возможность это проверить. Чтобы сделать это в теории, дающей меры для всех возможных наблюдений, я предполагаю использовать концепцию «типичности» [13]. Типичность является подходящей вероятностью, которую можно использовать для проверки или сравнения теорий, или для расчета их постериорных вероятностей в Байесианском анализе после назначения их предварительной вероятности. Основная идея заключается в выборе набора возможных наблюдений, каждое из которых дает единственный реальный параметр, например, постоянную Хаббла или значение одной из природных постоянных. Тогда мы используем меру для возможных наблюдений, чтобы получить меры всех диапазонов этого единственного реального параметра. Для простоты мы нормализуем к единице полную меру в наборе обсуждаемых наблюдений. Теперь мы хотим сопоставить некое наблюдение и теорию с помощью расчета типичности этого наблюдения внутри набора. Для простоты я назову наблюдение, которое будет проверяться, «фактическим», даже если из теории будет следовать, что реальны все возможные наблюдения с ненулевой мерой. Рассчитаем общие «левую» и «правую» меры для всех возможных наблюдений в рассматриваемом множестве, т. е. общую «правую» и «левую» меры, включая «фактическое» наблюдение, когда они отсортированы по оси х значениями обсуждаемого реального параметра. Эти две меры будут добавлены к единице, плюс мера «фактического» наблюдения, которое подсчитано в обеих мерах. Затем возьмем меньшую из этих двух мер (полную меру на более экстремальной стороне, если «фактическое» наблюдение не находится в середине полной меры). как «экстремальную» меру «фактического» наблюдения. Используем нормализованную меру набора наблюдений для расчета вероятности того, что случайное наблюдение в пределах набора дает «экстремальную» меру, столь же малую, что и для «фактического» наблюдения. Эту вероятность я называю «типичной» для реального наблюдения реального параметра в пределах выбранного набора реальных наблюдений. Типичность есть вероятность того, что случайное наблюдение в наборе, по крайней мере, так же экстремально, как реальное наблюдение. Это зависит не только от реального наблюдения, но также от теории, предсказывающей меру для набора наблюдений. Это то, что необходимо для расчета условной вероятности подмножеств наблюдений в пределах обсуждаемого множества (набора). В случае, если реальный параметр принимает непрерывные значения и равна нулю мера для наблюдения, имеющего точно некое значение, сумма левой и правой мер добавляется к единице. Тогда экстремальная мера (меньшая среди левой и правой) принимает непрерывные значения от 0 до ½ с однородным распределением вероятности, так что типичность есть удвоенная экстремальная мера. В этом простом случае типичность является случайной переменной с однородным распределением вероятности от 0 (если реальный параметр находится в экстремуме левого или правого) до 1 (если реальный параметр находится в середине взвешенного по мере диапазона, когда обе, левая и правая, меры равны ½). Если фактический параметр принимает дискретные значения, то ситуация усложняется. Например, предположим, что фактический параметр равен k с возможными значениями k = - 1 (с мерой 0,2), k = 0 (с мерой 0,35) и k = +1 (с мерой 0,45). Тогда k = - 1 имеет левую меру 0,2, а правую 0,2 + 0,35 + 0,45 = 1 для экстремальной меры 0,2; k = 0 имеет левую меру 0,2 + 0,35 = 0,55 и правую меру 0,35 + 0,45 = 0,8 для экстремальной меры 0,55; и k = 1 имеет левую меру 0,2 + 0,35 + 0,45 = 1 и правую меру 0,45 для экстремальной меры 0,45. Тогда вероятность экстремальной меры 0,2 есть 0,2 (вероятность k = - 1); вероятность экстремальной меры 0,45 есть 0,45 (вероятность k = +1); и вероятность экстремальной меры 0,55 есть 0,35 (вероятность k = 0). Типичность k = - 1 есть вероятность того, что экстремальная мера будет так же мала, как 0,2, то есть 0,2; типичность k = 0 есть вероятность того, что экстремальная мера будет так же мала, как 0,55, то есть 0,2 + 0,35 + 0,45 = 1; типичность k = + 1 есть вероятность того, что экстремальная мера будет так же мала, как 0,45, то есть 0,2 + 0,45 = 0,65. Заметим, что только для наиболее экстремального параметра значения или значений (для которого экстремальная мера самая маленькая из возможных в данном наборе) типичность такая же, как нормализованная мера наблюдения, дающая само это значение. Для менее экстремальных величин параметра типичность больше, чем мера наблюдений, дающая величину параметра. С другой стороны, наиболее экстремальное значение или значения параметра (среднее, для которого экстремальная мера является наибольшим возможным значением в наборе) имеют типичность, равную единице. Таким образом, типичность всегда достигает своего верхнего предела, равного единице, для некоторого члена множества, но наименьшее значение является мерой самого экстремального наблюдения (которая равна нулю, если наблюдаемый параметр сформировал континуум с нулевой мерой для некоторого конкретного значения параметра). Типичность есть вероятность, заданная теорией для мер наборов значений фактического параметра, для параметра, выбранного случайно с мерой вероятности, заданной теорией, по меньшей мере такой же экстремальной, как «фактический» наблюдаемый параметр. Типичность имеет преимущество перед мерой вероятности для фактически наблюдаемого параметра существования вероятности, имеющей значение вплоть до единицы, для некоторого возможного наблюдения. Это отличается от меры вероятности для самого параметра, которая может иметь очень маленький (если имеется ненормальное число возможных дискретных значений параметра) или даже нулевой верхний предел (если диапазоны параметра пробегают континуум и имеют плоскую плотность вероятности, без дельта-функций на каких бы то ни было конкретных значениях параметра). Есть использовать саму меру вероятности как вероятность, то мы не сможем напрямую применить Байесианский анализ к наблюдению непрерывного параметра, имеющего плоское распределение плотности вероятности, поскольку результирующая вероятность будет равна нулю для всех возможных наблюдаемых значений параметра. Можно попытаться использовать плотность вероятности вместо самой вероятности, но это зависит от координатизации (coordinatization) параметра и также дает неоднозначные результаты. Например, можно было бы получить другую правдоподобную вероятность для наблюдаемого значения постоянной Хаббла Н, используя ее плотность вероятности, чем с использованием Н2. Другое приближение, которое часто используют для результатов, которые имеют большое число возможных значений, это сохранение их и затем использование полной вероятности сохранения, в котором фактическое наблюдение лежит как вероятность. Но это опять зависит от сохранений и дает неоднозначные результаты. Этих неоднозначностей можно избежать, если использовать понятие типичности, как я его здесь определил. Правда, если наблюдается N > 1 параметров, тогда неоднозначность сохраняется даже при использовании типичностей. Во-первых, при более чем одном параметре мы имеем более чем одну типичность. Во-вторых, если есть N независимых параметров, можно сконструировать N их независимых комбинаций различными случайными путями. Обе эти проблемы связаны с вопросом о том, как мы хотим проверить теорию, не имеющую однозначного ответа. Сделав выбор, какой набор наблюдений включить и какой параметр определить как типичность, как мы используем типичность для проверки теории? Это может быть использовано – подобно другой вероятности – следующим образом: пусть Нn будет гипотеза, дающая меры наблюдений в наборе, так, что фактическое наблюдение О имеет типичность Тn(О) согласно этой гипотезе. На самом простом уровне можно сказать, что если Тn(О) мало, то Нn на соответствующем уровне исключается. Например, если Тn(О) < 0,01, то можно сказать, что Нn исключается на доверительном уровне 99%. Лучше было бы назначить начальные или предварительные вероятности Pi(Hn) различным гипотезам Нn, обозначенным различными значениями n. Тогда типичности Тn(О) этих различных гипотез можно использовать как веса для регулировки Pi(Hn) окончательных или постериорных вероятностей Pf(Hn), задаваемых формулой Байеса:

                    (1)

Наряду с неоднозначностью выбора набора возможных наблюдений и параметра, который можно наблюдать, и с тем, что существует физическая проблема расчета типичности Тm(О), предполагаемой теорией Hm, возникает новая неопределенность назначения предварительных вероятностей Pi(Hm) для самих теорий. Это выглядит чисто субъективным, хотя – в духе бритвы Оккама – ученые, как правило, назначают более высокие вероятности более простым теориям. Конечно, существует много произвольных путей сделать это. Однако, если просто рассматривать бесконечное счетное множество теорий, которые мы можем распределить в порядке возрастания сложности от простейшей Н1 до следующей по простоте Н2 и так далее, то одно простое назначение первичных вероятностей будет

Pi(Hm) = 2-m (2)

Идея ограничить внимание счетным множеством теорий выглядит правдоподобной, поскольку реально люди могут обсуждать только конечный набор теорий, но это положение может быть и нарушено, если окончательная теория Вселенной содержит бесконечное количество информации даже просто в виде единственной действительной постоянной или какого-нибудь другого параметра, чьи числовые значения не являются сжимаемыми (то есть, генерированными конечным количеством входящей информации). Заметим, что заслугой теории струн/М считается, что в ней нет даже возможности иметь бесконечное количество информации в каком бы то ни было наборе безразмерных постоянных, по крайней мере, в динамических уравнениях теории, хотя, по-видимому, не исключено, что квантовое состояние может содержать бесконечное количество информации. Это может относиться к ожидаемому значению дилатона (dilaton), хотя большинство теоретиков предпочло бы избежать такой возможности.

  1. Тестирование гипотез единичной Вселенной и мультиверса.

Тегмарк [22] классифицировал гипотезы мультиверса по уровням 1, 2, 3, 4. Уровень 1 – это области за нашим космическим горизонтом, где «природные постоянные» такие же, как в нашей области. Уровень 2 – это постинфляционные пузыри, возможно, с другими «природными постоянными». Уровень 3 – это множественные миры Эверетта в квантовой теории, с такими же особенностями, как уровень 2. Уровень 4 – другие математические структуры, с различными фундаментальными уравнениями физики, так же как и с различными «природными постоянными». Уровни 1-3 могут возникнуть из единственной Вселенной, если мы определяем Вселенную с помощью некоторого квантового состояния в некотором пространстве квантовых состояний (напр., некоторое состояние С-алгебры). В этом случае пространство квантовых состояний может быть задано как набор квантовых операторов и их алгебры, а квантовое состояние есть назначение среднего значения каждого квантового оператора. Чтобы получить меры наблюдений в форме осознанных восприятий, нужно добавить к этой чисто квантовой теории назначение конкретного положительного оператора для каждого набора осознанных восприятий. Результирующие «операторы сознания» формируют затем набор положительных операторов, подчиняясь сумме правил, формируюших союзы непересекающихся наборов осознанных восприятий, так что полученные значения ожидания обладают свойствами мер наборов осознанных восприятий [13, 14]. Различные гипотезы, каждая из которых является спецификацией единственной ОКМ-Вселенной, дают разные пространства квантового состояния, разные операционные алгебры, разные квантовые состояния, разные наборы осознанных восприятий и (или) разные наборы операторов сознания, приводящих к наборам осознанных восприятий. (Квантовое состояние здесь определено, в духе С-алгебры, как квантовые средние значения всех возможных квантовых операторов в наборе.) По правилам ОКМ о том, что мера для каждого набора осознанных восприятий есть среднее значение, данное квантовым состоянием для соответствующего оператора сознания, определение теории Нn с помощью ОКМ определяет меру для каждого набора возможных осознанных состояний. Это может быть теория одной Вселенной ОКМ, хотя Вселенная может быть мультиверсом в духе уровней 1-3. Тогда, с помощью описанной выше процедуры, из одного из фактических наблюдений можно рассчитать для каждого Нm типичность Тm(О) этого наблюдения. Если имеется набор таких теорий с предварительными вероятностями Pi(Hm), то можно использовать Байесианский анализ для расчета постериорной вероятности Pf(Hm) какой-то специфической теории Hn и соответственно проверить теорию на статистическом или вероятностном уровне. Но что, если вселенных больше, чем одна? Тегмарк [22, 23] поднял вопрос о том, возможен ли мультиверс, содержащий различные математические структуры, и выглядит логичным предположение, что реальность может состоять из более чем одной вселенной в смысле уровней от 1 до 3. Тегмарк обсуждает мультиверс уровня 4, который, как он его описывает, включает все математические структуры. Мне это кажется логически непоследовательным и немыслимым. Мой аргумент против уровня 4 состоит в том, что различные математические структуры могут быть противоречивы, и противоречия эти сосуществовать не могут. Например, одна структура может утверждать, что пространство-время где-то существует, а другая структура – что оно не существует вообще. Однако эти две структуры не могут описывать реальность одновременно. Можно сказать, что различные математические структуры описывают различные существующие вселенные, поэтому каждая из них применима к отдельной части реальности, и они не могут войти в противоречие. Но этот набор существующих вселенных, и различные математические структуры, с помощью которых описывается каждая из этих вселенных, затем формируют более общую математическую структуру. На предельном уровне может быть только один мир, и если математические структуры достаточно широки, чтобы включить все возможные миры или, по крайней мере, наш собственный, тогда должна быть одна уникальная математическая структура, описывающая конечную реальность. Поэтому я думаю, что является логическим нонсенсом говорить об уровне 4 в смысле сосуществования всех математических структур. Однако кто-то может захотеть обсудить, как протестировать уровни мультиверса между 1-3 и 4. Одной из возможностей расширения ОКМ-Вселенной до мультиверса может быть принятие более чем одного квантового состояния на том же пространстве квантовых состояний, в то время как другие части структуры – напр., операторы сознания – сохраняются в том же виде. Тогда, если каждому из этих различных квантовых состояний назначен свой вес, можно получить меру для каждого набора осознанных восприятий, как взвешенной суммы мер для каждого квантового состояния. Но это эквивалентно определению нового единственного квантового состояния в новой одномировой теории, которая является взвешенной суммой этих различных квантовых состояний в оригинальном определении. То есть, новое единственное квантовое состояние может быть определено, как среднее значение каждого оператора взвешенной суммы ожидаемого значения того, что могут дать различные квантовые состояния. (Если квантовое состояние можно описать матрицей плотности, тогда новая матрица плотности будет взвешенной суммой старых.) Так как мера для набора осознанных восприятий в ОКМ-вселенной есть среднее значение, заданное квантовым состоянием оператора сознания, соответствующего набору осознанных восприятий, то можно получить ту же меру, используя новое квантовое состояние, взяв взвешенную сумму мер в старом описании, где существуют различные квантовые состояния. Еще один способ получить более широкий мультиверс – сохранение того же пространства квантовых состояний, квантовых операторов, операционной алгебры и набора положительных осознанных восприятий, но включение дополнительных наборов операторов сознания в различных ОКМ-вселенных. Но, опять же, если взвесить результирующие меры для каждой вселенной с тем, чтобы получить полную меру для мультиверса, это было бы эквивалентно формированию нового набора операторов сознания, каждый из которых является взвешенной суммой соответствующих операторов сознания в каждой из различных вселенных. Еще одним способом расширения мультиверса может быть включение вселенных с отдельными пространствами квантовых состояний, каждое с собственным квантовым состоянием и операторами сознания. Если каждая из вселенных имеет вес, то опять можно получить полную меру для каждого набора осознанных восприятий, взяв взвешенную сумму меры для набора в каждой вселенной. Это может быть эквивалентно определению полного пространства квантовых состояний, чьи квантовые операторы генерируются тензором суммы операторов в каждом из оригинальных наборов операторов, что соответствует оригинальным отдельным пространствам квантовых состояний. Можно было бы взять операторы из разных исходных наборов в качестве коммутирующих для определения квантовой алгебры нового набора. Новое единственное квантовое состояние может быть затем определено заданием – какой-либо суммой операторов из разного набора операторов – взвешенной суммы средних значений, которые давали старые квантовые состояния. Для получения операторов из различных наборов можно было бы просто взять новое ожидаемое значение, как произведение взвешенных старых ожидаемых значений для различных операторов в каждом наборе. Новые операторы сознания могут быть определены как суммы оригинальных операторов сознания. Так как это включает только суммы из различных наборов операторов, то все средние значения новых операторов сознания будут линейными в весах для оригинальных отдельных вселенных в новом единственном квантовом состоянии и, следовательно, дадут в этом новом единственном квантовом состоянии такую же меру, как взвешенная сумма оригинальных мер. Каждая из этих простых попыток расширения мультиверса не дает ничего нового; во всяком случае, не дает меры наборов осознанных восприятий. Таким образом, единственная ОКМ-вселенная является довольно широким понятием, охватывающим широкий спектр способов получения мер осознанных восприятий. В самом деле, можно было бы утверждать, что любое назначение меры осознанных восприятий могло бы исходить из единственной ОКМ-вселенной, так как можно просто определить операторы сознания для всех наборов осознанных восприятий и вставлять их в более широкий набор квантовых операторов с некоторой алгеброй. Тогда можно просто выбрать квантовое состояние для задания желаемых средних значений всех операторов сознания. В принципе, можно даже выбрать операционную алгебру, полностью коммутирующую, так что результирующая квантовая теория была бы совершенно классической, хотя по-прежнему, возможно, давала бы многомирие Эверетта скорее, чем единственный классический мир. Таким образом, даже вселенная, которая дает такие же меры осознанного восприятия, как наша, и, следовательно, ту же самую типичность для всех наблюдений, в принципе, может быть классической в смысле коммутативности. Из наших наблюдений мы не можем доказать, что Вселенная является квантовой. Тем не менее, конечно, такое классическое описание наших осознанных восприятий предполагает более сложную ОКМ-вселенную, чем та, в которой есть некоммутирующие операторы (и вероятно, даже некоммутирующие операторы сознания). Таким образом, на основании простоты и бритвы Оккама, мы назначаем более высокую вероятность для некоммутрирующих квантовых теорий, объясняющих наши наблюдения, даже несмотря на то, что правдоподобие наших наблюдений может быть в точности таким же, как в классической теории. Аналогично может оказаться, что, хотя теория многих ОКМ-вселенных может быть одним из способов, описанных выше, сведена к теории единственной ОКМ-вселенной, описание может быть проще в прежних терминах или даже в терминах миров, не являющихся ОКМ-мирами. Если у нас есть истинный мультиверс из разных вселенных, каждая из которых дает меру для каждого набора осознанных восприятий, то, чтобы получить меру, охватывающую полностью всю реальность, мы нуждаемся в мере для каждого из отдельных мультиверсов. Действительно, пусть каждая вселенная описывается гипотезой Hn, назначающей меру μn(S) для каждого набора S осознанных восприятий. Рассматривая одиночные вселенные, мы рассматривали различные Hm, как альтернативные теоретические возможности, и обсуждали назначение для них субъективных априорных вероятностей Pi(Hm). Но когда мы обсуждаем реальные мультиверсы, нам нужен объективный вес w(Hn) для каждой вселенной, так как каждая вселенная с ненулевым весом предполагается реально существующей. Тогда полная мера для каждого набора осознанных восприятий из этого расширенного мультиверса может быть μ(S) = Σn w(Hn) μn(S). Расширение мультиверса до множественных ОКМ-вселенных (или до некоего ансамбля, в котором существует предсказание меры для всех наборов осознанных восприятий для каждой вселенной) заменяет нашу неопределенность о том, какая Hn корректна, неопределенностью о том, какая w(Hn) корректна. Это заменяет вопрос Тегмарка [22] «Почему это уравнение?» на «Почему эта мера?» Мы не можем уклониться от той или иной формы этого вопроса, ссылаясь на все более высокие уровни мультиверса, даже если это может обеспечить простое описание мира. В том смысле, что ОКМ-вселенная является единственной вселенной, она может все еще охватывать 1-3 уровни мультиверса. На истинном уровне мультиверса нам нужна не только единая теория Hn для одной Вселенной, но также мета-теория I для меры или веса w(Hn) одиночных вселенных внутри набора реально существующих мультиверсов. Однако, поскольку мы еще не знаем, какая мета-теория корректна, как не знаем и того, что корректная теория Hn означает для нашей Вселенной, мы можем надеяться обсудить различные возможные мета-теории, IM, обозначенные индексом М таким же образом, как n обозначает единственную вселенную, описываемую теорией Hn. Тогда мета-теория IM говорит о том, что единичные вселенные присутствуют с мерами wM,n ≡ wM(Hn), а набор осознанных восприятий S имеет меру μМ(S) = Σn wM,n μn(S). Из меры для осознанных восприятий может следовать процедура, описанная в предыдущем разделе для получения типичности ТМ(О) наблюдения О в мета-теории IM. Например, если единичные вселенные, описываемые теорией Hn, обозначаются положительными индексами n в порядке увеличения сложности, и если мета-теории IM обозначены положительными индексами М, то можно изобразить следующим образом веса wM,n мета-теории IM для получения вселенной Hn:

    w2m,n = δmn                 (3)

Тогда для нечетного М получаем геометрическое распределение весов по всем одиночным вселенным, описываемым теориями Hn со средним n, равным m + 1. Тем не менее, даже для М можно получить ненулевой (единица) вес только для уникальной единичной вселенной, описываемой теорией Hm. Тогда нечетные члены счетной последовательности мета-теорий действительно дают теории мультиверса с различными весами, тогда как четные члены дают теории единичных вселенных. Так же, как при Байесианском анализе теорий единичных вселенных мы нуждались в субъективных начальных вероятностях Pi(Hm) для возможных теорий единичных вселенных Hm, так и теперь, при Байесианском анализе теорий мультиверса IM мы нуждаемся в субъективных начальных вероятностях Pi(IМ). И опять, хотя эти первичные вероятности реально произвольны, мы можем призвать бритву Оккама для мета-теорий и объявить более простыми теории с большими значениями субъективных начальных вероятностей. Например, если мы можем заново расположить IM в порядке увеличения сложности согласно другому натуральному числу N(M), то можно использовать простую субъективную начальную вероятность

Pi(IМ) = 2- N(M). (4)

Это означает, что для простейшей мета-теории (N = 1) правильно назначить начальную вероятность 50%, для следующей по простоте (N = 2), соответственно, 25% и т.д. Для более широкого выбора ad hoc, можно было бы взять веса мета-теорий, определяемые смешанной моделью уравнения (3) как для одиночных, так и для множественных вселенных, и произвольно установить

Pi(I2m-1) = Pi(I2m) = 2-m-1. (5)

Это дает полную начальную вероятность ½ для теорий одиночных (четные М) вселенных и вероятность ½ для теорий множественных (нечетные М) вселенных. Это можно рассматривать как компромиссное назначение, если должна быть использована теория, a priori амбивалентная относительно как одиночных, так и множественных вселенных.

  1. Заключение.

Даже если теории мультиверса обычно включают ненаблюдаемые элементы, эти теории могут дать проверяемые предсказания для наблюдаемых элементов, если включают в себя четко определенные меры для наблюдений. Далее можно проанализировать их Байесианские смыслы, используя зависимую от теории типичность результата наблюдений, как вероятность теории, хотя здесь присутствует еще неопределенность в назначении начальных вероятностей теорий. Можно попытаться избежать специфических уравнений или других особенностей индивидуальной вселенной, предположив, что существует ансамбль различных вселенных, но это заменяет вопрос уравнений вопросом меры для различных вселенных в ансамбле. Не существует очевидного способа избежать нетривиального содержания для тестируемости теорий, полностью описывающих всю реальность.

Литература:

[1] B. Carter, in M. S. Longair (ed.), Confrontation of Cosmological Theory with Observational Data (Riedel, Dordrecht, 1974), pp. 291-298. [2] B. J. Carr and M. J. Rees, Nature 278, 605 (1979). [3] J. D. Barrow and F. J. Tipler, The Anthropic Cosmological Principle (Clarendon Press, Oxford, 1986). [4] M. Rees, Just Six Numbers: The Deep Forces That Shape the Universe (Basic Books, New York, 2000). [5] M. J. Duff, B. E. W. Nilsson and C. N. Pope, Phys. Rep. 130, 1 (1986). [6] R. Bousso and J. Polchinski, JHEP 0006, 006 (2000), hep-th/0004134. [7] S. Kachru, R. Kallosh, A. Linde, and S. P. Trivedi, Phys. Rev. D68, 046005 (2003), hep-th/0301240. [8] L. Susskind, “The anthropic landscape of string theory,” in Universe or Multiverse?, edited by B. J. Carr (Cambridge University Press, Cambridge, 2007), pp. 241-260, hep-th/0302219; “Supersymmetry breaking in the anthropic landscape,” in M. Shifman, A. Vainshtein, and J. Wheater (eds.), From Fields to Strings: Circumnavigating Theoretical Physics, Ian Kogan Memorial Collection (Oxford University Press, Oxford, 2005), Vol 3, pp. 1745-1749, hep-th/0405189; The Cosmic Landscape: String Theory and the Illusion of Intelligent Design (Little, Brown and Company, New York, 2005). [9] M. R. Douglas, JHEP 0305, 046, (2003), hep-th/0303194; “The statistics of string vacua,” hep-th/0401004; “Understanding the landscape,” hep-th/0602266. [10] T. Banks, M. Dine and E. Gorbatov, JHEP 0408, 058 (2004), hep-th/0309170. [11] H. Firouzjahi, S. Sarangi and S. H. H. Tye, JHEP 0409, 060 (2004), hep-th/0406107. [12] S. Coleman, “Quantum mechanics with the gloves off,” DiracMemorial Lecture, St. John’s College, University of Cambridge, June 1993 (unpublished). [13] D. N. Page, “Sensible quantum mechanics: Are only perceptions probabilistic?” quant-ph/9506010; Int. J. Mod. Phys. D5, 583 (1996), gr-qc/9507024. [14] D. N. Page, in Q. Smith and A. Jokic (eds.), Consciousness: New Philosophical Perspectives (Clarendon Press, Oxford, 2003), pp. 468-506, quant-ph/0108039. [15] R. B. Griffiths, J. Stat. Phys. 36, 219 (1984). [16] M. Gell-Mann and J. B. Hartle, in W. Zurek (ed.), Complexity, Entropy, and the Physics of Information, SFI Studies in the Science of Complexity, Vol. VIII (Addison-Wesley, Reading, MA, 1990). [17] R. Omn`es, Interpretation of Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1994). [18] A. Linde and A. Mezhlumian, Phys. Rev. D53, 4267 (1996), gr-qc/9511058. [19] A. Vilenkin, Phys. Rev. Lett. 81, 5501 (1998), hep-th/9806185; Phys. Rev. D59, 123506 (1999), gr-qc/9902007. [20] V. Vanchurin, A. Vilenkin and S. Winitzki, Phys. Rev. D61, 083507 (2000), gr-qc/9905097. [21] J. Garriga and A. Vilenkin, Phys. Rev. D64, 043511 (2001), gr-qc/0102010; Phys. Rev. D64, 023507 (2001), gr-qc/0102090; Phys. Rev. D67, 043503 (2003), astro-ph/0210358. [22] M. Tegmark, Sci. Am. 288, No. 5, p. 30 (May 2003), and in Spektrum Wiss. 2003, No. 8, p. 34 (2003); in J. D. Barrow, P. C. W. Davies and C. L. Harper (eds.), Science and Ultimate Reality: From Quantum to Cosmos (Cambridge University Press, Cambridge, 2003), astro-ph/0302131. [23] M. Tegmark, Ann. Phys. 270, 1 (1998), gr-qc/9704009.